Liczba zero
Już w siódmym wieku p.n.e. Babilończycy stosowali zero w zapisie pozycyjnym, ale nigdy nie występowało ono samodzielnie. W Cywilizacji Majów zero istniało jako liczba już w I w. p.n.e., ale Majowie nie rozprzestrzenili tej idei poza Amerykę Środkową. Liczbę i oznaczającą ją cyfrę zero wprowadzili Hindusi. Całość systemu pozycyjnego o podstawie 10, z dziesięcioma cyframi i metodami wykonywania działań została opisana przez Dżainistów w 458 roku. Współczesne pojęcie zera przypisuje się Hindusowi Brahmagupcie, który opisał je w 628 r. Zero stosowano w średniowieczu, ale nie miało ono swojej reprezentacji w cyfrach rzymskich - stosowano łacińskie słowo nullae.
Nazwa "zero" o podobnym brzmieniu w większości jezyków europejskich pochodzi od arabskiego słowa "sifr" co oznacza pustka. W wydanej po raz pierwszy w 1202 roku "Liber abaci", z której Europejczycy uczyli się liczyć, Leonardo z Pizy zwany Fibonacci używał odpowiednika "zephirum" dla arabskiego "sifr". Słowo upraszczało się przez "zefiro" do "zero", które weszło w użycie w V w.
Czy zero jest liczbą naturalną?

W matematyce liczby naturalne używane są w trzech kontekstach:
- przy określaniu kolejności - czyli jako liczby porządkowe,
- przy określaniu liczebności - czyli jako liczby kardynalne,
- jako przedmiot badań teorii liczb.

W pierwszej sytuacji mamy zbiór liczb naturalnych jako zbiór uporządkowany, więc z tego punktu widzenia jest obojętne, czy liczby naturalne będą się zaczynać od 0, 1, czy od jakiejkolwiek z liczb.

Kiedy liczby naturalne są potrzebne do liczenia, sensowne jest, żeby liczby naturalne zaczynały sie od zera, czyli od mocy zbioru pustego.

Kiedy zajmujemy się teorią liczb, w większości twierdzeń i definicji zero okazuje się wyjątkiem i do większości twierdzeń i definicji trzeba dodać zastrzeżenia, że coś jest różne albo większe od zera. Tu z kolei z pomocą przychodzą nam liczby całkowite, gdzie używa się pojęć liczba całkowita dodatnia lub liczba całkowita nieujemna.

Liczba Pi
Biblia Tysiąclecia
π≈3,141592653589793238462643383279502884197169...
Już w czasach zamierzchłych starożytni rachmistrze zauważyli, że wszystkie koła mają ze sobą coś wspólnego, że ich średnica i obwód pozostają wobec siebie w takim samym stosunku, a liczba ta bliska jest 3. W Starym Testamencie obwód był właśnie trzykrotnością średnicy, a w jednym z najstarszych tekstów matematycznych - papirusie Rhinda (XVII w. p. n. e.) wartość ta była przedstawiana jako (16 9 ) 2 ≈3,160493... W III wieku przed Chrystusem, Archimedes zaproponował ciąg oszacowań. Wcisnął ten stosunek między dwa ułamki. Pisał tak: W każdym kole długość obwodu jest większa niż trzykrotna długość średnicy o mniej niż jedną siódmą, ale więcej niż dziesięć siedemdziesiątych pierwszych. Poszukiwana liczba według Archimedesa zawarta jest między 3+10 71 i 3+1 7 . Doszedł do tego obliczając pola zawarte w wielokątach foremnych o 96 bokach.

Czym jest π
Liczba π to stosunek długości okręgu do długości jego średnicy, jest wielkością stałą i wynosi w przybliżeniu 3,1415... Ale dlaczego w przybliżeniu? Dziś jesteśmy w stanie obliczyć wartość pi do milionów miejsc po przecinku. Rodzi się pytanie: jakiego rodzaju to liczba? Wiemy, że jest bardzo bliska 22 7 ≈3,14 , ale nie ma tu równości. Bliższa jest wartości 355 113 ≈3,1415929203... , ale nawet ta liczba nie określa dokładnej wartości. Czy jest możliwe, żeby liczba pi była równa pewnemu ułamkowi tym samym należącą do zbioru liczb wymiernych? Odpowiedź brzmi: nie, jak pokazał Johann Lambert w 1761 roku. Lambert udowodnił, że π nie jest pierwiastkiem kwadratowym żadnego ułamka. Ostatecznie w roku 1882 niemiecki matematyk Ferdinand Lindemann rozstrzygnął podstawowy problem dotyczący liczby i wykazał, że π jest liczbą przestępną czyli taką, która nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych. Liczba pi jest więc liczbą niewymierną, taką której rozwinięcie dziesiętne zachowuje się "byle jak", nie ma w nim żadnego porządku i nigdy się nie kończy.
Używany dzisiaj symbol π wprowadzony został dopiero w 1706 roku przez Wiliama Jonesa, a spopularyzował go Leonhard Euler używając tego zapisu w dziele Analiza. Swą nazwę zawdzięcza pierwszej literze greckiego słowa "peryferia". Liczba ta nazywana jest również ludolfiną od imienia niemieckiego matematyka Ludolpha van Ceulena, który wraz z żoną na początku XVII w. podał jej przybliżenie z dokładnością 35 miejsc po przecinku, co w tamtych czasach było ogromnym wyczynem. Popularność liczba pi zawdzięcza występowaniu swoim we wzorach na pole koła czy objętości kuli, związana jest także z kwadraturą koła - zadaniem pochodzącym ze starożytnej Grecji, rozwiązanym dopiero przez Lindemanna.
Wzory na π

Ciekawostki
W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie pi z dokładnością do czterech miejsc po przecinku! Dziś nie można stwierdzić czy był to zadziwiający przypadek, czy wynik geniuszu nieznanych nam z imienia uczonych.

Uczeni szukając kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby π. Wierzą, że inteligentne istoty spoza Ziemi znają tę liczbę i rozpoznają nasz komunikat.

Liczba e
Liczba e pojawiła się w matematyce w zupełnie innych okolicznościach aniżeli bardziej znana liczba pi. W starożytności nie znano jej, pojawiła się dopiero w XVI wieku za sprawą szkockiego matematyka Johna Napiera (Nepera), który ułożył tablice logarytmów, bardzo pomocne przy skomplikowanych obliczeniach astronomicznych. Logarytmy bowiem wymyślono, aby zamienić mnożenie na dodawanie. Przez setki lat, cudowna własność logarytmów, dzięki której z pomocą tablic lub dwóch linijek z logarytmiczną skalą - można było dodawać zamiast mnożyć, ułatwiała astronomom życie. Dziś, w epoce komputerów, zastosowanie logarytmów do mnożenia ma mniejsze znaczenie praktyczne.
Liczbę e definiujemy jako granicę
e=lim n→∞ (1+1 n ) n

Granica ta zbliża się do 2.718281828459045235360287..., liczby niewymiernej i niealgebraicznej. W 1873 roku Charles Hermite pokazał, że e jest przestępna.
Liczba e nazywana jest także liczbą Napiera (Napera), oznaczenie "e" wprowadził w 1736 roku Leonhard Euler, który badał różne liczby i oznaczał je literami alfabetu. Na tę liczbą wypadło akurat e.

Liczbę Napiera można spotkać w bankowości. Inwestując pewną sumę pieniędzy w banku na p% po roku zwiększamy jej wartość i tak dla zainwestowanej 1 złotówki mamy (1+p 100 ) złotych. Po n latach wzrasta do (1+p 100 ) n złotych. Mieliśmy szczęście i bankier zaproponował nam ogromną stopę procentową, sto procent. Zainwestowaliśmy więc wszystkie nasze oszczędności, oznaczmy je przez x. Po roku będziemy bogatsi, podwoimy nasz wkład, otrzymamy 2x. Jest jednak możliwość otrzymania swoich odsetek w dowolnym czasie i ponowne ich zainwestowanie. Jeśli odbierzemy odsetki po sześciu miesiącach i ponownie je zainwestujemy, to po roku otrzymamy x(1 + 1/2)2 = 2,25x. Odbierając odsetki kwartalnie jeszcze bardziej zwiększamy nasz zysk, po roku mielibyśmy x(1 + 1/4)4 = 2,441x. Miesięczne pobieranie odsetek i ponowne inwestowanie wzbogaca nas jeszcze bardziej: x(1 + 1/12)12 = 2,5996x. Potem codziennie - znowu więcej, co minutę, sekundę - jeszcze więcej, jeszcze trochę i będziemy bogaci. Nic z tego, nasze procenty składane mogą się mnożyć, ale przy końcu otrzymamy dokładnie wartość liczby e czyli około 2,7182x.

Liczba złota
Wielki astronom Kepler powiedział:
Geometria ma dwa cenne skarby: jeden z nich to twierdzenie Pitagorasa, drugi - podział odcinka w stosunku średnim i skrajnym. Pierwsze porównać do miary złota. Drugie jest niby kamień drogocenny.
Φ=5 √ +1 2 =1,6180339887498948482...
Znana zasada złotego podziału polega na tym, że dowolna całość do części większej ma się tak samo jak część większa do części mniejszej. Zależność ta jest wyrażana liczbą złotego podziału - Φ.
Jeśli założymy, że długość odcinka jest równa a, a długość pierwszej z dwóch części odcinka otrzymanych po podziale oznaczymy przez x, to długość drugiej części wynosi a - x. Wtedy to zachodzi równość:
a x =x a−x
Po zastosowaniu własności proporcji i uporządkowaniu otrzymujemy równanie:
x2 + ax - a2 = 0, którego jedynym dodatnim rozwiązaniem jest liczba: x=a(5 √ −1) 2
Po podstawieniu w miejsce x do powyższej proporcji otrzymane rozwiązanie i po przeprowadzeniu kilku przekształceń algebraicznych otrzymujemy, że stosunek a x jak i stosunek x a−x jest taki sam i wynosi 5 √ +1 2
Pierwszy wyrysował złoty podział Hippasus w V wieku p.n.e. Starożytni Grecy uważali złoty podział za idealną proporcję, którą chętnie realizowali w architekturze.
Obecnie złoty podział jest też często stosowany, wymiary znormalizowanego zeszytu pozostają w stosunku w przybliżeniu równym stosunkowi złotego podziału.
Liczba złota ma ciekawe własności: Aby ją podnieść do kwadratu, wystarczy dodać do niej jedynkę. Aby znaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć jedynkę.

Ciąg liczbowy Fibonacciego
Spośród wszystkich ciągów liczbowych, które występują, jeden jest szczególnie interesujący. Ciąg ten zawdzięcza swoją nazwę matematykowi z Pizy, Leonardowi, który pod nazwiskiem Fibonacci wydał w 1202 roku słynną księgę Liber Abaci. Ojciec Leonarda nosił przydomek Bonacci, stąd syn został Fibonaccim (filius Bonacci - syn dobrotliwego) Liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich nazywa się liczbami Fibonacciego i pojawiają się w tak wielu sytuacjach, że wydaje się to niemożliwe.
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb określony rekurencyjnie w sposób następujący:
F0 = 0
F1 = 1
Fn = Fn-1 + Fn-2, dla n ≥ 2
Początkowe wartości tego ciągu to:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...
Podstawowy ciąg liczb Fibonacciego to: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... Każda liczba w ciągu jest sumą dwóch poprzednich (poza pierwszą i drugą). Mamy więc do czynienia z ciągiem rekurencyjnym. Ciąg liczbowy Fibonacciego jest pierwszym ze znanych ciągów tego rodzaju.
W wyniku podzielenia każdej z liczb ciągu przez jej poprzednik otrzymuje się iloraz oscylujący wokół 1,618 - liczby złotego podziału. W miarę zwiększania się liczb zmniejszają się odchylenia od tej wartości. Dokładna wartość granicy jest złotą liczbą: Φ=5 √ +1 2 =1,6180339887498948482...

Liczby Fibonacciego można wyznaczyć ze wzoru:
F n+1 =(n 0 )+(n−1 1 )+(n−2 2 )+...
Liczby Fibonacciego są więc sumami liczb z przekątnych w trójkącie Pascala.
Ciąg Fibonacciego można odnaleźć w wielu aspektach przyrody, ciąg taki opisuje np. liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w latach. W słoneczniku możemy zaobserwować dwa układy linii spiralnych, wychodzących ze środka. Liczba linii rozwijających się zgodnie z ruchem wskazówek zegara wynosi 55 i tylko 34 skręconych w przeciwną stronę. Takie same spirale można zaobserwować na wielu innych roślinach ( np. kalafior, ananas). Liczby spiral występujących w tych roślinach są kolejnymi liczbami Fibonacciego.
Złotymi proporcjami wyznaczonymi na podstawie ciągu Fibonacciego posługiwał się w swoim malarstwie Leonardo da Vinci i Botticelli. W XX wieku ciąg Fibonacciego stosowany był także przez niektórych kompozytorów do proporcjonalnego porządkowania rytmu lub harmonii. Na ciągu Fibonacciego zbudowane jest między innymi Trio klarnetowe Krzysztofa Meyera.
Złote proporcje wykorzystano także podczas wznoszenia piramidy Cheopsa w Gizie i Partenonu w Grecji.
Liczby pierwsze
Kilka początkowych wyrazów w ciągu Fibonacciego to liczby pierwsze: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229. Otwarty pozostaje problem rozstrzygalności, czy liczb pierwszych w ciągu Fibonacciego jest nieskończenie wiele.

Liczby trójkątne
Podczas budowania konstrukcji z klocków w kształcie piramidy, trzeba pamiętać, by klocek z kolejnej warstwy leżał na dwóch klockach z warstwy poprzedniej.
Po ułożeniu podstawy musimy postawić na niej ścianę złożoną o jeden klocek mniej. Zaczynając od podstawy z n klocków, w następnej warstwie musimy ułożyć ich n - 1. Układamy tak długo, aż na szczycie będzie tylko jeden klocek. Piramida skończona i powstaje tylko pytanie: ilu klocków potrzeba było do jej zbudowania?
Oznaczmy przez Tn liczbę klocków potrzebną do budowy piramidy złożonej z n klocków. Łatwo możemy obliczyć tę liczbę, gdyż jest ona zawsze sumą liczb naturalnych od 1 do n (dla n > 0). Liczbę tę nazwano liczbą trójkątną.
Liczba trójkątna jest sumą n kolejnych liczb naturalnych, która wyraża się wzorem: Tn = n(n+1) 2
Początkowe liczby trójkątne:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, ...
Podobno wzór wymyślił młody Gauss, gdy nudził się na lekcji matematyki. Liczby trójkątne są równe odpowiednim współczynnikom newtonowskim.

Liczby kwadratowe
Liczby kwadratowe są szczególnymi przypadkami liczb wielokątnych. Liczba kwadratowa wyraża ilość pewnych jednostek, za pomocą których możemy "wypełnić kwadrat".

Sposób na odnalezienie kolejnych liczb kwadratowych wyraża się wzorem:
kn = n2 = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1),
gdzie n jest liczbą naturalną. Liczby kwadratowe są więc kwadratami kolejnych liczb naturalnych.

Pitagoras wykazał, że suma kolejnych liczb nieparzystych daje pełny kwadrat
1 + 3 = 22
1 + 3 + 5 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 42

Liczby doskonałe
Pierwsze wzmianki o liczbach doskonałych pojawiają się w Elementach Euklidesa około 300 r. p.n.e:
Jeśli wziąć dowolnie dużo liczb, z których pierwsza jest jedynką, a każda następna jest dwa razy większa od poprzedniej i dodać je do siebie to, jeśli w wyniku otrzyma się liczbę pierwszą, to liczba ta pomnożona przez liczbę dwa razy większą od ostatniej w tym szeregu będzie liczbą doskonałą.
Liczba doskonała to taka liczba, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej.
Pierwsza liczba doskonała to 6.
D6 = { 1, 2, 3, 6 }
6 = 1 + 2 + 3
Druga liczba doskonała to 28.
D6 = { 1, 2, 4, 7, 14, 28 }
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
Te dwie liczby znane były w starożytności. Kabaliści utrzymywali, że nie przypadkiem Bóg stworzył świat w sześć dni, a Księżycowi kazał obiegać Ziemię w ciągu 28 nocy.
Dwie kolejne liczby doskonałe znalazł Euklides: 496 i 8128. On też zauważył, że jeśli liczby p i 2p - 1 są pierwsze, to liczba postaci 2p-1(2p - 1) jest liczbą doskonałą.
Piątą liczbę doskonałą znaleziono ponad tysiąc lat później. Kolejne dwie liczby odkrył Cataldi na początku XVII w. Później liczby doskonałe odkrywali Fermat, Mersenne i Euler. Historia największych liczb doskonałych związana jest z odkrywaniem coraz to większych liczb pierwszych Mersenna. Dziś w dobie komputerów znamy ich niewiele. Wszystkie znane liczby doskonałe mają postać zaproponowaną przez Euklidesa. Nie wiemy też, czy istnieją nieparzyste liczby doskonałe. Zagadnienie to badano intensywnie, lecz nie ma na nie odpowiedzi.

Liczby zaprzyjaźnione
Gdy zapytano Pitagorasa: Co to jest przyjaciel? - odpowiedział:
Przyjaciel to drugi ja; przyjaźń, to stosunek liczb 220 i 284.
Stąd prawdopodobnie pochodzi nazwa liczb zaprzyjaźnionych.
Liczby zaprzyjaźnione to dwie liczby naturalne, gdzie każda z nich jest równa sumie dzielników właściwych drugiej liczby.
Pierwsza para to 220 i 284.
D284 = {1, 2, 4, 71, 142, 284}
D220 = {1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220}
220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142
284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110
W starożytności liczbom zaprzyjaźnionym przypisywano znaczenie mistyczne. Dzisiaj już wiara w zaprzyjaźnione liczby wygasła, i nikt nie korzysta z przykładu średniowiecznego księcia, którego liczbowa wartość imienia wynosiła 284 i który pozostał do śmierci kawalerem, bo nie mógł znaleźć narzeczonej, której imię miałoby wartość 220.

Liczby palindromiczne
Na nagrobku Ferdynanda de Lesseps'a (1805-1894) francuskiego inżyniera, który kierował pracami przy budowie Kanału Sueskiego i Kanału Panamskiego, znajduje się epitafium następującej treści:
A MAN A PLAN A CANAL PANAMA
Napis ten czytany od lewej ku prawej stronie lub od prawej do lewej strony brzmi identycznie. Taki napis to palindrom. Palindromami mogą być również liczby.
Liczba palindromiczna to liczba, która przy czytaniu z lewej strony do prawej i odwrotnie jest jednakowa.
Liczby takie nazywane są także liczbami symetrycznymi. Przykłady takich liczb to:
7, 57775, 626, 1111111...
Legenda mówi, że wynalazcą palindromów był Sotades (III w p.n.e.) z Maronei, twórca poezji frywolnej na dworze Ptolemeusza. Palindromy powstały jako zabawa słowna, choć niektóre z palindromów miały być czymś w rodzaju szyfru, może zaklęcia. Współcześnie palindrom to przede wszystkim rozrywka umysłowa. Ciekawostką matematyczną jest, że każdy palindrom liczbowy w systemie dziesiętnym złożony z parzystej liczby cyfr jest podzielny przez 11.

Liczby lustrzane
Liczby lustrzane to takie dwie liczby, które są lustrzanym odbiciem.
23 - 32
5693 - 3965

Liczby sfeniczne
Liczby sfeniczne to liczby naturalne, które są iloczynem trzech różnych liczb pierwszych.
Wszystkie liczby sfeniczne mają dokładnie osiem dzielników, wynika to z stąd, że jeśli wyrazimy liczbę sfeniczną jako iloczyn liczb pierwszych n = p • q • r, wówczas zbiór dzielników liczby n będzie równy: {1, p, q, r, pq, pr, qr, n}.

Pierwszą liczbą sfeniczną jest 30 = 2 • 3 • 5

Liczba 37
Liczba 37 to liczba pierwsza.
Liczba naturalna dzieli się przez 37 wtedy, gdy suma liczb utworzonych przez grupy trzycyfrowe, na jakie można podzielić daną liczbę, zaczynając od prawej strony.
Liczba 37 jest sumą kwadratów będących liczbami trójkątnymi. 37 = 12 + 62
Jedyną liczbą czterocyfrową, której cyfry są uporządkowane rosnąco i która jest kwadratem liczby naturalnej jest 1369 = 372
Trójkąt o bokach długości 33 i 7, tworzących kąt 120°, ma trzeci bok długości 37. Jeżeli natomiast w trójkącie kąt między bokami długości 3 i 7 ma 60°, to trzeci bok ma długość 37 − − √
Suma kwadratów cyfr liczby. 32 + 72 = 37 + 3 • 7.
Kwadrat różnicy cyfr liczby. (7 - 3)2 = 37 - 3 • 7.